17.3.11

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ


Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι σχέση της Ευκλείδειας γεωμετρίας ανάμεσα στις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου. Συνεπώς αποτελεί θεώρημα της Επιπέδου Γεωμετρίας.
Το πυθαγόρειο θεώρημα: το άθροισμα των τετραγώνων των 2 κάθετων πλευρών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα, που εξ ονόματος αποδίδεται στον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο Πυθαγόρα το: «Εν τοις ορθογωνίοις τριγώνοις το από της την ορθήν γωνίαν υποτεινούσης πλευράς τετράγωνον ίσον εστί τοις από των την ορθήν γωνίαν περιεχουσών πλευρών τετραγώνοις».
Δηλαδή: «το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δυο κάθετων πλευρών».

Η παραπάνω πρόταση εκφράζεται με τον ακόλουθο τύπο:

α2 = β2 + γ2. - (όπου α = το μήκος της υποτείνουσας και β και γ = τα μήκη των δύο άλλων πλευρών)

Τη παραπάνω αρχαία διατύπωση της πρότασης του εν λόγω θεωρήματος παρέχει ο αρχαίος επίσης Ευκλείδης στο πρώτο βιβλίο των "Στοιχείων" Γεωμετρίας του (47η πρόταση) με σχετική απόδειξη που κατά παράδοση οφείλεται στον Πυθαγόρα που κατ΄ άλλη επίσης αρχαία παράδοση μετά την ανακάλυψή του αυτή θυσίασε προς τους θεούς Εκατόμβη γι αυτό και το θεώρημα αυτό ονομάσθηκε «Εκατόμβη» ή «Θεώρημα εκατόμβης».

Ισχύει και το αντίστροφο Πυθαγόρειο θεώρημα: ότι δηλαδή, αν ισχύει η παραπάνω σχέση μεταξύ των πλευρών ενός τριγώνου, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
Ιστορικά

Αν και το θεώρημα σήμερα φέρει το όνομα του Έλληνα μαθηματικού Πυθαγόρα, από ιστορικές έρευνες φαίνεται ότι είχε διατυπωθεί και νωρίτερα (ως εμπειρική παρατήρηση), γύρω στο 800 π.Χ., στην Ινδία από τον Baudhayana, στο βιβλίο Baudhayana Sulba Sutra (οδηγίες για κατασκευή ναών): Το σχοινί που εκτείνεται κατά μήκος της διαγωνίου ενός ορθογωνίου, παράγει επιφάνεια ίδια με αυτή της κάθετης και της οριζόντιας πλευράς. Από αιγυπτιακά μεγαλιθικά μνημεία των οποίων οι πλευρές είναι ακέραια πολλαπλάσια, φαίνεται ότι οι ιδιότητες των ορθογωνίων τριγώνων και οι σχέσεις των πλευρών τους, ήταν γνωστές από πολύ παλιά. Ο Πυθαγόρας απέδειξε το Πυθαγόρειο θεώρημα με θεωρητική γεωμετρία χρησιμοποιώντας λογικές αποδείξεις και κανόνα και διαβήτη.
Απόδειξη
Ορθογώνιο τρίγωνο με το ύψος της υποτείνουσας.

Το πυθαγόρειο θεώρημα αποδεικνύεται με πάνω από έναν τρόπους:

* Απόδειξη με ομοιότητα τριγώνων:

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή γωνία την Α. Θεωρώ το ύψος της υποτείνουσας ότι την τέμνει στο σημείο Δ. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΑ είναι όμοια μεταξύ τους ως ορθογώνια τρίγωνα με ίδια τη γωνία Β. Παρομοώς τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΓΑ είναι όμοια μεταξύ τους με ίδια τη γωνία Γ. Ισχύει, λοιπόν:

\textstyle \frac{\Alpha\Beta}{\Beta\Gamma}=\frac{\Delta\Beta}{\Alpha\Beta} \Rightarrow \scriptstyle (\Alpha\Beta)^{2}=(\Beta\Gamma)(\Delta\Beta),
και παρομοίως (ΑΓ)2 = (ΒΓ)(ΔΓ).

Αν προσθέσουμε τις δυο αυτές εξισώσεις έχουμε:

(ΑΒ)2 + (ΑΓ)2 = (ΒΓ)(ΔΒ) + (ΒΓ)(ΔΓ) = (ΒΓ)(ΔΒ + ΔΓ) = (ΒΓ)2.


Τετράγωνο πλευράς a + b

* Απόδειξη με εμβαδά

Θεωρούμε ένα τετράγωνο πλευράς a + b και σχεδιάζουμε σε αυτό τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές a και b και υποτείνουσα c, έτσι ώστε στο κέντρο να έχουμε τετράγωνο πλευράς c (βλ. σχήμα).

Υπολογίζουμε το εμβαδό του τετραγώνου προσθέτοντας το εμβαδό του μικρότερου τετραγώνου καθώς και τα εμβαδα των τεσσάρων τριγώνων :

c2 + 2ab

Αφού πρόκειται για τετράγωνο πλευράς a + b το εμβαδό του ισούται επίσης με:

a2 + b2 + 2ab.

Εξισώνοντας τις δυο αυτές σχέσεις προκύπτει:

a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab
ή a2 + b2 = c2.

Πυθαγόρειες τριάδες

Οι φυσικοί αριθμοί που ικανοποιούν την εξίσωση α2 = β2 + γ2 ονομάζονται πυθαγόρειες τριάδες. Η πιο μικρή είναι η (3,4,5), με 32+42=52. Άλλες πυθαγόρειες τριάδες είναι 62+82=102, 52+122=132 καθώς και όλα τα πολλαπλάσια τους.
Γενικεύσεις

Μια γενίκευση του πυθαγόρειου θεωρήματος αποτελεί ο νόμος των συνημιτόνων. Σύμφωνα με αυτόν ισχυεί για κάθε τρίγωνο:

α2 = β2 + γ2 − 2βγcosA,

όπου Α η γωνία απέναντι από την πλευρά α. Για γωνία Α ίση με 90 μοίρες είναι cosA = 0, οπότε προκύπτει το πυθαγόρειο θεώρημα.
Αντίστροφο πυθαγορείου θεωρήματος

Από το πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει και το αντίστροφο που λέει ότι "Αν σε ένα οποιοδήποτε τρίγωνο το άθροισμα των τετραγώνων των μικρότερων πλευρών του τριγώνου ισούται με το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα τη μεγαλύτερη πλευρά και ορθή γωνία αυτή απέναντι από την υποτείνουσα"

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Douz History comments